☆ e est irrationnel

On sait que la suite \(\left(u_{n}\right)\)  définie par  \(u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}\)   est convergente vers \(\text e\) . L'objectif est de montrer que \(\text e\)  est irrationnel. On suppose que  \(\text e\) est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers non nuls `p` et  `q` tels que \(\text e=\dfrac {p}{q}\) .

1. Démontrer que \(u_{q}<\dfrac{p}{q}. On rappelle que \(v_n=u_n+\dfrac{1}{nn!}\) .

2. En déduire que \(q\displaystyle\sum_{k=0}^q\dfrac{q!}{k!}.

3. Démontrer que, pour tout entier `k`  tel que \(0\leqslant k\leqslant q\) , le nombre  \(\dfrac {q!}{k!}\)  est un entier.

4. Conclure.